حل تمرین صفحه 31 ریاضی ششم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۳۱ ریاضی ششم این تمرین یک جدول ضرب کسری است. برای پر کردن جاهای خالی، باید حاصل ضرب عدد سطر (کسر) را در عدد ستون (عدد صحیح یا کسر) محاسبه کنیم. ### ۱. تکمیل مقادیر مجهول در سطر و ستون **الف) پیدا کردن ستون مجهول (ستون $\mathbf{۲}$):** $$\frac{۱}{۲} \times \mathbf{\square} = \text{۱۰} \rightarrow \mathbf{\square} = \text{۱۰} \div \frac{۱}{۲} = \text{۱۰} \times ۲ = \mathbf{۲۰}$$ **ب) پیدا کردن ستون مجهول (ستون $\mathbf{۴}$):** $$\frac{۲}{۳} \times \mathbf{\square} = \text{۱} \rightarrow \mathbf{\square}$$ باید معکوس $\frac{۲}{۳}$ باشد. $$\mathbf{\square} = \frac{۱}{\frac{۲}{۳}} = \mathbf{\frac{۳}{۲}}$$ **ج) پیدا کردن ردیف مجهول (ردیف $\mathbf{۳}$):** از داده‌های ستون $\text{۱}$ استفاده می‌کنیم: $$\frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\triangle}} \times ۱۲ = \text{۶} \rightarrow \frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\triangle}} = \frac{۶}{۱۲} = \frac{۱}{۲}$$ **فرض می‌کنیم:** کسر مجهول $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ باشد. ### ۲. تکمیل جدول | $\times$ | $\text{۱۲}$ | $\mathbf{۲۰}$ | $\text{۶۰}$ | $\mathbf{\frac{۳}{۲}}$ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | $\frac{۱}{۲}$ | $\text{۶}$ | $\text{۱۰}$ | $\frac{۱}{۲} \times ۶۰ = \mathbf{۳۰}$ | $\frac{۱}{۲} \times \frac{۳}{۲} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$ | | $\frac{۲}{۳}$ | $\frac{۲}{۳} \times ۱۲ = \mathbf{۸}$ | $\frac{۲}{۳} \times ۲۰ = \frac{۴۰}{۳} = \mathbf{۱۳\frac{۱}{۳}}$ | $\text{۴۰}$ | $\text{۱}$ | | $\frac{\mathbf{۱}}{\mathbf{۲}}$ | $\frac{۱}{۲} \times ۱۲ = \mathbf{۶}$ | $\frac{۱}{۲} \times ۲۰ = \mathbf{۱۰}$ | $\frac{۱}{۲} \times ۶۰ = \mathbf{۳۰}$ | $\frac{۱}{۲} \times \frac{۳}{۲} = \mathbf{\frac{۳}{۴}}$ | **(توجه:** کسر مجهول در سطر $\text{۳}$ را $\frac{۱}{۲}$ فرض کردیم تا با $\text{۶}$ در ستون $\text{۱}$ مطابقت داشته باشد.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۳۱ ریاضی ششم برای پیدا کردن عبارت‌های برابر، ابتدا باید **حاصل ضرب کسر اصلی** را به دست آوریم و سپس حاصل ضرب گزینه‌ها را محاسبه کنیم. ### ۱. محاسبه‌ی کسر اصلی $$\mathbf{A} = \frac{۵}{۴} \times \frac{۳}{۱۲}$$ $$\text{A} = \frac{۵ \times ۳}{۴ \times ۱۲} = \frac{۱۵}{۴۸}$$ * **ساده‌سازی $\text{A}$:** صورت و مخرج بر $athbf{۳}$ بخش‌پذیرند. $\text{۱۵} \div \text{۳} = \mathbf{۵}$ و $\text{۴۸} \div \text{۳} = \mathbf{۱۶}$. $$\text{A} = \mathbf{\frac{۵}{۱۶}}$$ ### ۲. محاسبه‌ی گزینه‌ها * **🔴 $\frac{۵}{۴} \times \frac{۳}{۱۲}$:** $\mathbf{\frac{۵}{۱۶}}$ (کسر اصلی) * **🔴 $\frac{۵}{۸} \times \frac{۱}{۲}$:** $$\frac{۵ \times ۱}{۸ \times ۲} = \mathbf{\frac{۵}{۱۶}}$$ * **🔴 $\frac{۴}{۱۲} \times \frac{۵}{۳}$:** ساده‌سازی $\frac{۴}{۱۲} = \frac{۱}{۳}$. $$\frac{۱}{۳} \times \frac{۵}{۳} = \mathbf{\frac{۵}{۹}}$$ (نادرست) * **🔴 $\frac{۵}{۱۶} \times \frac{۱}{۳}$:** $$\frac{۵ \times ۱}{۱۶ \times ۳} = \mathbf{\frac{۵}{۴۸}}$$ (نادرست) ### ۳. نتیجه حاصل ضرب $\frac{۵}{۴} \times \frac{۳}{۱۲}$ با حاصل ضرب عبارت‌های **$\mathbf{\frac{۵}{۸} \times \frac{۱}{۲}}$** و **خودش** برابر است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۳۱ ریاضی ششم پیدا کردن «کسری از یک کسر» با عمل **ضرب** انجام می‌شود. ### الف) $\frac{۱}{۵}$ برابر $\frac{۳}{۴}$ $$\frac{۱}{۵} \times \frac{۳}{۴}$$ $$\text{حاصل} = \frac{۱ \times ۳}{۵ \times ۴} = \mathbf{\frac{۳}{۲۰}}$$ *** ### ب) نصف $\frac{۳}{۴}$ «نصف» به معنای $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ برابر است. $$\frac{۱}{۲} \times \frac{۳}{۴}$$ $$\text{حاصل} = \frac{۱ \times ۳}{۲ \times ۴} = \mathbf{\frac{۳}{۸}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۳۱ ریاضی ششم برای اینکه حاصل ضرب $\frac{۲}{۳} \times \mathbf{\square}$ از $\mathbf{۱}$ بزرگتر شود، باید $\mathbf{\square}$ عددی بزرگتر از **معکوس $\frac{۲}{۳}$** باشد. ### ۱. پیدا کردن معکوس معکوس $\frac{۲}{۳}$ برابر است با $\mathbf{\frac{۳}{۲}}$. $$\frac{۳}{۲} = ۱\frac{۱}{۲} = \mathbf{۱.۵}$$ ### ۲. انتخاب سه عدد باید اعدادی را انتخاب کنیم که از $\mathbf{۱.۵}$ (یا $\frac{۳}{۲}$) بزرگتر باشند. * **مثال $\mathbf{۱}$ (کسری):** $\mathbf{۲}$ (چون $۲ > ۱.۵$) $\rightarrow \frac{۲}{۳} \times \frac{۲}{۱} = \frac{۴}{۳} = ۱\frac{۱}{۳} > ۱$ * **مثال $\mathbf{۲}$ (کسری):** $\mathbf{\frac{۵}{۳}}$ (چون $rac{۵}{۳} \approx ۱.۶۶ > ۱.۵$) $\rightarrow \frac{۲}{۳} \times \frac{۵}{۳} = \frac{۱۰}{۹} = ۱\frac{۱}{۹} > ۱$ * **مثال $\mathbf{۳}$ (عدد صحیح):** $\mathbf{۵}$ (چون $۵ > ۱.۵$) $\rightarrow \frac{۲}{۳} \times ۵ = \frac{۱۰}{۳} = ۳\frac{۱}{۳} > ۱$ **سه عدد مثال:** $\mathbf{۲}, \mathbf{\frac{۵}{۳}}, \mathbf{۵}$ (هر عددی بزرگتر از $\frac{۳}{۲}$ درست است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه ۳۱ ریاضی ششم برای اینکه حاصل ضرب دو کسر **بیشترین مقدار ممکن** باشد، باید: 1. **بزرگترین اعداد** ($athbf{۴}$ و $athbf{۳}$) را در **صورت** کسرها قرار دهیم. 2. **کوچکترین اعداد** ($athbf{۱}$ و $athbf{۲}$) را در **مخرج** کسرها قرار دهیم. ### ۱. انتخاب کسرها * **صورت‌ها (بزرگترین):** $athbf{۴}$ و $athbf{۳}$ * **مخرج‌ها (کوچکترین):** $athbf{۱}$ و $athbf{۲}$ بهترین ترکیب برای بیشترین مقدار، ضرب دو کسر $\mathbf{\frac{۴}{۱}}$ و $\mathbf{\frac{۳}{۲}}$ است. $$\frac{۴}{۱} \times \frac{۳}{۲} = \mathbf{\text{...}}$$ ### ۲. محاسبه‌ی حاصل ضرب $$\frac{۴}{۱} \times \frac{۳}{۲} = \frac{۴ \times ۳}{۱ \times ۲} = \frac{۱۲}{۲} = \mathbf{۶}$$ **پاسخ:** * **نحوه‌ی قرار دادن کارت‌ها:** $\mathbf{۴}$ و $athbf{۳}$ در صورت و $athbf{۱}$ و $athbf{۲}$ در مخرج. * **حاصل ضرب:** $\mathbf{۶}$ **(توجه:** هر ترکیب دیگری که $ ext{۴}$ و $ ext{۳}$ در صورت و $ ext{۱}$ و $ ext{۲}$ در مخرج باشند، حاصل $athbf{۶}$ می‌دهد. مثلاً $\frac{۳}{۱} \times \frac{۴}{۲}$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۸ صفحه ۳۱ ریاضی ششم در این حالت، باید چهار کارت $athbf{۱}, \mathbf{۲}, \mathbf{۳}, \mathbf{۴}$ را در دو کسر قرار دهیم، به‌طوری که حاصل **جمع** آن‌ها **بیشترین مقدار ممکن** باشد: $$\frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}} + \frac{\mathbf{\square}}{\mathbf{\square}}$$ برای اینکه حاصل جمع دو کسر بیشترین مقدار باشد، مانند ضرب، باید: 1. **بزرگترین اعداد** ($athbf{۴}$ و $athbf{۳}$) را در **صورت** قرار دهیم. 2. **کوچکترین اعداد** ($athbf{۱}$ و $athbf{۲}$) را در **مخرج** قرار دهیم. ### ۱. انتخاب کسرها تنها دو حالت برای جمع وجود دارد: * **حالت $\mathbf{۱}$:** $\frac{۴}{۱} + \frac{۳}{۲}$ (بهترین حالت) * **حالت $\mathbf{۲}$:** $\frac{۳}{۱} + \frac{۴}{۲}$ **توجه:** هر دو حالت نتیجه‌ی یکسانی دارند، زیرا $rac{۴}{۲} = rac{۲}{۱}$. ### ۲. محاسبه‌ی حاصل جمع با استفاده از حالت $athbf{۱}$: $$\frac{۴}{۱} + \frac{۳}{۲} = \text{۴} + \text{۱}\frac{۱}{۲} = \mathbf{۵\frac{۱}{۲}}$$ (با کسر مشترک $ ext{۲}$): $\frac{۸}{۲} + \frac{۳}{۲} = \frac{۱۱}{۲} = \mathbf{۵\frac{۱}{۲}}$ **پاسخ:** اگر به جای ضرب، علامت جمع باشد، بیشترین مقدار ممکن برابر است با $athbf{۵\frac{۱}{۲}}$ (یا $athbf{\frac{۱۱}{۲}}$).

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۹ صفحه ۳۱ ریاضی ششم حاصل ضرب دو کسر از حاصل ضرب صورت‌ها و مخرج‌ها به دست می‌آید. برای اینکه حاصل $\mathbf{\frac{۸}{۱۵}}$ شود، باید حاصل ضرب صورت‌ها $athbf{۸}$ و حاصل ضرب مخرج‌ها $athbf{۱۵}$ باشد. **$$\text{صورت} \times \text{صورت} = \mathbf{۸}$$** **$$\text{مخرج} \times \text{مخرج} = \mathbf{۱۵}$$** چندین حالت ممکن برای تجزیه‌ی $athbf{۸}$ و $athbf{۱۵}$ وجود دارد: ### ۱. حالت اول (اعداد صحیح) * **تجزیه‌ی $athbf{۸}$:** $athbf{۴} \times \mathbf{۲}$ یا $athbf{۸} \times \mathbf{۱}$ * **تجزیه‌ی $athbf{۱۵}$:** $athbf{۳} \times \mathbf{۵}$ یا $athbf{۱۵} \times \mathbf{۱}$ $$\mathbf{۱:} \quad \mathbf{\frac{۴}{۳}} \times \mathbf{\frac{۲}{۵}} = \frac{۸}{۱۵}$$ $$\mathbf{۲:} \quad \mathbf{\frac{۸}{۳}} \times \mathbf{\frac{۱}{۵}} = \frac{۸}{۱۵}$$ $$\mathbf{۳:} \quad \mathbf{\frac{۱}{۳}} \times \mathbf{\frac{۸}{۵}} = \frac{۸}{۱۵}$$ $$\mathbf{۴:} \quad \mathbf{\frac{۱}{۱}} \times \mathbf{\frac{۸}{۱۵}} = \frac{۸}{۱۵}$$ **پاسخ‌های پیشنهادی:** $$\mathbf{\frac{۴}{۳}} \times \mathbf{\frac{۲}{۵}} \text{ و } \mathbf{\frac{۸}{۳}} \times \mathbf{\frac{۱}{۵}}$$ ***

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱۰ صفحه ۳۱ ریاضی ششم ### ۱. بررسی ضرب اول $$\frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۴} = \frac{۶}{۱۲}$$ * **محاسبه:** $\text{۲} \times \text{۳} = \mathbf{۶}$ (صورت) و $\text{۳} \times \text{۴} = \mathbf{۱۲}$ (مخرج). این محاسبه درست است. * **ساده‌سازی:** $\frac{۶}{۱۲}$ می‌تواند به $\frac{۱}{۲}$ ساده شود. **نتیجه:** **درست** ✅. (محاسبه‌ی اولیه صحیح است، اگرچه ساده‌سازی نشده است.) *** ### ۲. بررسی ضرب دوم $$۱\frac{۲}{۳} \times \frac{۳}{۴} = \frac{۵}{۳} \times \frac{۳}{۴} = \frac{۵۵}{۱۲}$$ 1. **تبدیل:** $۱\frac{۲}{۳} = \frac{(۱ \times ۳) + ۲}{۳} = \mathbf{\frac{۵}{۳}}$. (درست انجام شده) 2. **ضرب:** $\frac{۵}{۳} \times \frac{۳}{۴} = \frac{۵ \times ۳}{۳ \times ۴} = \frac{۱۵}{۱۲}$. 3. **مقایسه با پاسخ داده شده:** $\frac{۱۵}{۱۲}$ با $\frac{۵۵}{۱۲}$ برابر نیست. **نتیجه:** **نادرست** ❌. (احتمالاً در ضرب صورت‌ها اشتباه شده است: $۵ \times ۳ \ne ۵۵$). **اصلاح:** $\frac{۵}{۳} \times \frac{۳}{۴} = \frac{۱۵}{۱۲} = \mathbf{۱\frac{۳}{۱۲} = ۱\frac{۱}{۴}}$